Campo Eléctrico - Distribuciones de Carga Continua

Campo Eléctrico en distribuciones continuas de carga

Para calcular el campo eléctrico en distribuciones continuas de carga se debe considerar las variaciones infinitesimales que se producen en el espacio debido a las variaciones infinitesimales de la distribución de carga continua:

La expresión anterior generaliza el cálculo del campo eléctrico. Para el cálculo del campo eléctrico también es necesario tener en cuenta la distribución de carga en el espacio:

Distribución lineal de carga

Distribución superficial de carga

Distribución volumétrica de carga

Referencias: Roger, Freedman, R., & Young, H. (2009). Física universitaria, con física moderna. México: PEARSON.

Chrystiam Camilo Esquivel Rangel

Karen Lucia Castellanos Caicedo

Bryan Fernando Carvajal Torres

Experimento de la hielera de Faraday

Este experimento fue realizado en el siglo XIX por el científico inglés Michael Faraday empleando una hielera de metal con tapa. (Experimentos similares se llevaron a cabo en el siglo XVIII por parte de Benjamín Franklin en Estados Unidos y Joseph Priestley en Inglaterra, aunque con mucha menor precisión.) El resultado confirma la validez de la ley de Gauss y, dado que son equivalentes, la ley de Coulomb. El resultado de Faraday fue significativo porque el método experimental de Coulomb, quien usaba una balanza de torsión y dividía las cargas, no era muy preciso; es muy difícil confirmar con gran precisión la dependencia que tiene la fuerza electrostática del término 1/r^2 con mediciones directas de la fuerza. En contraste, experimentos como el de Faraday prueban la validez de la ley de Gauss y, por consiguiente, de la ley de Coulomb de un modo mucho más preciso.

Este experimento se ilustra en la figura 1. Se monta un recipiente conductor, como una olla de metal con tapa, sobre una base aislante. Al principio el recipiente no tiene carga. Después se cuelga una esfera metálica con carga de un cordel aislante (1a), se hace descender hacia el interior del recipiente, y se coloca la tapa (1b). Se inducen cargas sobre las paredes del recipiente, como se ilustra. Luego se deja que la esfera toque la pared interior (1c). La superficie de la esfera se convierte, en efecto, en parte de la superficie de la cavidad. La situación es ahora la misma que la de la figura 1b; si la ley de Gauss es correcta, la carga neta en la superficie de la cavidad debe ser igual a cero. Es decir, la esfera debe perder toda su carga. Por último, se extrae la esfera para constatar que en verdad ha perdido toda su carga.

Figura 1:

 a) La esfera conductora con carga suspendida de un cordel aislante afuera del recipiente conductor apoyado en una base aislante. b) Se hace descender la esfera hacia el interior del recipiente, y se coloca la tapa. c) La esfera toca la superficie interior del recipiente.

En el siguiente vídeo se puede apreciar el funcionamiento de este experimento:

Tomado del libro:

Física Universitaria Con Física Moderna de Sears - Zemansky - Volumen 2 - Decimosegunda edición 

Presentado por:

Daniel de Jesús Martínez Vega

Fernando Andres Pérez Pallares

Nicolas Johan Sebastian Silva Diaz

Deshidratación del crudo Maya mediante un campo eléctrico de corriente continua

En el proceso de producción del petróleo crudo, éste emerge contaminado con salmueras subterráneas y en algunos casos con agua de mar, las cuales pueden estar en forma libre o emulsionada en el petróleo. Tan pronto como llega a la superficie, el agua libre se elimina por sedimentación. Sin embargo, la reducción del agua emulsionada no es directa, debido a la estabilidad que presentan las gotas de agua emulsionada a la fuerza de gravedad.

El agua emulsionada le proporciona al petróleo crudo un volumen adicional al transporte así como propiedades corrosivas, el cual se ve reflejado en la reducción de la vida útil de los equipos de proceso. Debido a esto, es necesario aplicarle un proceso de deshidratación y desalado . El proceso de separación más comúnmente usado por su efectividad es el empleo de un campo eléctrico de corriente continua o corriente alterna, mediante el cual se logra la coalescencia de las gotas de agua emulsionada. Sin embargo, conforme los valores de las propiedades físicas del crudo (viscosidad y densidad, principalmente) son más altos, la aplicación de este proceso se dificulta.

La aplicación de un campo eléctrico a la emulsión del crudo orienta las cargas eléctricas dentro de las gotas de agua emulsionada causando su coalescencia. Por lo tanto, esto provoca que se formen gotas más grandes, las cuales precipitaran debido a la fuerza eléctrica y de la gravedad.

Debido al movimiento complejo de las gotas de agua en el campo eléctrico, se dificulta derivar una expresión que permita estimar la rapidez de deshidratación del crudo Maya. Sin embargo, en este estudio se consideran los siguientes parámetros como factores de la cinética de deshidratación : voltaje, porcentaje de desemulsificante, concentración de sal (NaCl), temperatura, porcentaje de agua emulsionada y porcentaje de dilución.

El número de variables que afectan la rapidez de deshidratación del crudo Maya, también ha influido en la determinación de una expresión para estimar esta rapidez. Algunos autores han mostrado la contribución de algunas de la mayoría de las variables anteriores para emulsiones de derivados del petróleo conservando las otras variables constantes .

La coalescencia y el proceso de sedimentación del agua emulsionada en el crudo Maya están afectados principalmente por la viscosidad del crudo y su efecto ya se tiene tipificado. Además, se ha reportado que la viscosidad es uno de los factores que controlan la estabilidad de la emulsión en el petróleo crudo, siendo más importante en crudos pesados.

Por lo anterior, en el presente trabajo se estudiaron experimentalmente los factores que contribuyen a la cinética de deshidratación por campo eléctrico del crudo Maya. Para esto, se ha aplicado el concepto de la inducción eléctrica de una partícula sometida a un campo eléctrico , al proceso de coalescencia eléctrica. Esto dio como resultado que la operación del equipo experimental se llevara a cabo disminuyendo el nivel de la fase acuosa para abatir el efecto de la viscosidad del crudo Maya. Se examinan primeramente los efectos de las variables para cada emulsión con un porcentaje fijo de agua preparada a condiciones constantes. De igual manera, se ha incluido por primera vez la contribución del agua de dilución en el modelo de rapidez como un factor adicional para el desalado del crudo Maya.

Pérez Hernández, B., & Garfias Vázquez, F. J. (2002). Deshidratación del crudo Maya mediante un campo eléctrico de corriente continua. Revista de la Sociedad Química de México, 46(3), 227-234.

Elian Hernando Gil Sierra

Hernan Dario Gomez

Arley Eduardo Buenaver

Campo y potencial eléctrico de una distribución continua de carga

Campo producido por un hilo rectilíneo cargado

En este apartado, vamos a deducir el campo producido en un punto P distante R, de una línea indefinida cargada con una densidad de carga de λ C/m.

El campo producido por el elemento de carga dq, comprendido entre x y x+dx, tiene la dirección y el sentido indicado en la figura y su módulo es

$dE=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r^2}$

Este campo tiene dos componentes: una a lo largo del eje vertical Y y otra, a lo largo del eje horizontal X.

$d{E}_y=dE\cos \theta$

La componente horizontal X no es necesario calcularla ya que por simetría se anulan de dos en dos. El elemento de carga dq situado en x y el elemento de carga dq situado en –x producen campos cuyos módulos son iguales y cuyas componentes horizontales son iguales y opuestas. El campo total es la suma de las componentes verticales Y

$\begin{array}{c}x=R\cdot \tan \theta dx=\frac{R}{{\cos }^2\theta }d\theta r=\frac{R}{\cos \theta }\\ E=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}d{E}_y=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda dx}{r^2}\cos \theta =\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda \frac{Rd\theta }{{\cos }^2\theta }}{{\left(\frac{R}{\cos \theta }\right)}^2}\cos \theta \\ =\frac{\lambda }{4\pi {\epsilon }_{0}R}\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\cos \theta d\theta =\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}R}\end{array}$

El campo tiene por dirección la perpendicular a la línea indefinida cargada, tal como se indica en la figura de la derecha.

Campo eléctrico producido por un anillo cargado

En esta sección se calcula el campo eléctrico y el potencial producido por un anillo uniformemente cargado en un punto de su eje de simetría. Aplicaremos el resultado obtenido para calcular el campo y potencial producido por un disco de radio R, uniformemente cargado y finalmente, el campo producido por un plano indefinido, cuando el radio del disco se hace muy grande.

Sin embargo, el campo y el potencial en un punto fuera del eje del anillo requiere el cálculo de integrales elípticas completas de primera y segunda especie.

El anillo de radio a contiene una carga q uniformemente distribuida en su longitud.

Potencial producido por el anillo en un punto z de su eje de simetría

La carga q dista r del punto P, luego el potencial es

$V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{\sqrt{a^2+z^2}}$

Campo eléctrico producido por el anillo en un punto de su eje de simetría

El campo producido por el elemento de carga dq en el punto P vale

$\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r^2}$

Por simetría, las componentes de dicho campo perpendiculares al eje de simetría correspondientes a dos elementos de carga diametralmente opuestos se anulan.

El campo total es paralelo al eje Z de simetría y vale

$\begin{array}{c}E=\oint \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r^2}\cos \alpha =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{a^2+z^2}\frac{z}{\sqrt{a^2+z^2}}=\\ \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qz}{{\left(a^2+z^2\right)}^{3/2}}\end{array}$

El campo también se puede obtener a partir del potencial

$E=-\frac{dV}{dz}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qz}{{(a^2+z^2)}^{3/2}}$

Disco uniformemente cargado

Consideremos un disco de radio R, uniformemente cargado con una densidad de carga σ C/m²

El campo dE producido por un anillo de radio a y de anchura da, que contiene una carga dq=σ·2πa·da es

$dE=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{z\cdot dq}{{\left(a^2+z^2\right)}^{3/2}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{z\cdot \sigma \cdot 2\pi a\cdot da}{{\left(a^2+z^2\right)}^{3/2}}$

El campo total producido por el disco cargado es la suma de los campos producidos por todos los anillos que forman el disco.

$E=\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{z\cdot \sigma \cdot 2\pi a\cdot da}{{\left(a^2+z^2\right)}^{3/2}}=\frac{\pi z\cdot \sigma }{4\pi {\epsilon }_0}\underset{0}{\overset{R}{\int }}\frac{2a\cdot da}{{\left(a^2+z^2\right)}^{3/2}}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)$

Para un plano indefinido cargado R→∞

$E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$

El mismo resultado se obtiene aplicando la ley de Gauss.

Puntos fuera del eje del anillo

Potencial producido por el anillo cargado en el punto fuera del eje

Calculamos el potencial en el punto P del plano XZ producido por un elemento diferencial de carga dq=λ·dl, dondeλ=q/(2πa) es la densidad lineal de carga en C/m, dl=a·dθ es la longitud de un arco diferencial,

El vector $\overrightarrow{r}\text{'}=a\cos \theta \cdot \hat{i}+a\sin \theta \cdot \hat{j}$señala la posición del elemento diferencial de carga

El vector $\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}$ señala la posición del punto P

El potencial en el punto P vale

$V=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\oint }^{}\frac{\lambda \cdot dl}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}\text{'}|}$

el denominador es la distancia entre el elemento diferencial de carga dq y el punto P.

$|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}\text{'}|=\sqrt{{(x-a\cos \theta )}^2+a^2{\sin }^2\theta +z^2}=\sqrt{x^2+a^2+z^2-2ax\cos \theta }$

La integral se convierte en

$\begin{array}{c}\oint \frac{\lambda \cdot a\cdot d\theta }{\sqrt{x^2+z^2+a^2-2ax\cos \theta }}=\frac{2}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\lambda \cdot a\cdot d\theta }{\sqrt{x^2+z^2+a^2-2ax\cos \theta }}=\\ \frac{\lambda a}{2\pi {\epsilon }_0\sqrt{2ax}}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{b-\cos \theta }}b=\frac{z^2+x^2+a^2}{2ax}\end{array}$

Las tablas de integrales elípticas (Good) nos da la siguiente equivalencia

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{b-\cos \theta }}=\sqrt{2m}K\left(m\right)K\left(m\right)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-m{\sin }^2\phi }}m=\frac{2}{1+b}$

K(m) es la integral elíptica completa de primera especie

El potencial V en el punto P vale

$V=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\sqrt{\frac{a}{2x}}\sqrt{2m}K\left(m\right)m=\frac{2}{1+\frac{z^2+x^2+a^2}{2ax}}$

El valor de K(m) se puede consultar en una tabla de integrales elípticas (Puig Adam)

Campo eléctrico producido por el anillo cargado en el punto fuera del eje

Calculamos el campo eléctrico en el punto P del plano XZ producido por un elemento diferencial de carga dq=λ·dl, donde λ=q/(2πa) es la densidad lineal de carga en C/m, dl=a·dθ es la longitud de un arco diferencial,

El vector $\overrightarrow{r}\text{'}=a\cos \theta \cdot \hat{i}+a\sin \theta \cdot \hat{j}$señala la posición del elemento diferencial de carga

El vector $\overrightarrow{r}=x\hat{i}+y\hat{j}$ señala la posición del punto P

El campo eléctrico producido por el elemento diferencial de carga $\overrightarrow{dE}$ tiene la dirección y el sentido del vector diferencia $\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}\text{'}$, que une la posición de la carga y el punto P.

$\overrightarrow{dE}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda \cdot dl}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}\text{'}{|}^2}\frac{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}\text{'}}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}\text{'}|}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\lambda \cdot dl}{|\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}\text{'}{|}^3}\left(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r}\text{'}\right)$

Las componentes del campo total son:

$\begin{array}{c}{E}_x=\frac{\lambda a}{4\pi {\epsilon }_0}\oint \frac{x-a\cos \theta }{{(x^2+z^2+a^2-2ax\cos \theta )}^{3/2}}d\theta \\ E_y=\frac{\lambda a}{4\pi {\epsilon }_0}\oint \frac{-a\sin \theta }{{(x^2+z^2+a^2-2ax\cos \theta )}^{3/2}}d\theta \\ E_z=\frac{\lambda a}{4\pi {\epsilon }_0}\oint \frac{z}{{(x^2+z^2+a^2-2ax\cos \theta )}^{3/2}}d\theta \end{array}$

Por simetría, la componente Y del campo debe anularse, como puede comprobarse fácilmente resolviendo la integral inmediata.

Como cosθ es una función par, hacemos la sustitución $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\to 2\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}$

El resultado es

$\begin{array}{c}{E}_x=\frac{2\lambda a}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{x-a\cos \theta }{{\left(x^2+z^2+a^2-2ax\cos \theta \right)}^{3/2}}d\theta =\\ \frac{\lambda a}{2\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\left(2ax\right)}^{3/2}}\left(x\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{d\theta }{{\left(b-\cos \theta \right)}^{3/2}}-a\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\cos \theta \cdot d\theta }{{\left(b-\cos \theta \right)}^{3/2}}\right)\\ E_z=\frac{2\lambda a}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{z}{{\left(x^2+z^2+a^2-2ax\cos \theta \right)}^{3/2}}d\theta =\\ \frac{\lambda a}{2\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{{\left(2ax\right)}^{3/2}}z\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{d\theta }{{\left(b-\cos \theta \right)}^{3/2}}\end{array}$

Las tablas de integrales elípticas (Good) nos da las siguientes equivalencias

$\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{d\theta }{{\left(b-\cos \theta \right)}^{3/2}}=\frac{m}{2-2m}\sqrt{2m}E\left(m\right)\\ E\left(m\right)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-m{\sin }^2\phi }d\phi m=\frac{2}{1+b}\\ \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{-\cos \theta \cdot d\theta }{{\left(b-\cos \theta \right)}^{3/2}}=\sqrt{2m}K\left(m\right)-\frac{2-m}{2-2m}\sqrt{2m}E\left(m\right)\\ K\left(m\right)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\phi }{\sqrt{1-m{\sin }^2\phi }}\end{array}$

Las expresiones de las componentes del campo son

$\begin{array}{c}{E}_x=\frac{q}{4{\pi }^2{\epsilon }_0}\frac{1}{{\left(2ax\right)}^{3/2}}\left(x\frac{m}{2-2m}\sqrt{2m}E\left(m\right)+a\sqrt{2m}K\left(m\right)-a\frac{2-m}{2-2m}\sqrt{2m}E\left(m\right)\right)\\ E_z=\frac{q}{4{\pi }^2{\epsilon }_0}\frac{1}{{\left(2ax\right)}^{3/2}}z\frac{m}{2-2m}\sqrt{2m}E\left(m\right)m=\frac{4ax}{x^2+z^2+a^2+2ax}\end{array}$

En la figura, se muestra la dirección del campo eléctrico mediante flechas, en el plano XZ, con x>0  y z>0. El módulo del campo no se puede mostrar ya que cambia significativamente de un punto cercano al anillo a otro algo más alejado. El radio del anillo es a=1.0

Caso particular

Estudiamos el campo a lo largo del eje del anillo, x →0,

$m\to \frac{4ax}{z^2+a^2}$

Las integrales elípticas tienden ambas a K(0)=E(0)=π/2

Comprobamos, E_x→0, fijarse que los dos últimos términos entre paréntesis se cancelan y E_xen el límite, resulta proporcional a x. En cuanto a la componente Z.

$E_z\to \frac{q}{4{\pi }^2{\epsilon }_0}\frac{1}{{\left(2ax\right)}^{3/2}}z\frac{\frac{4ax}{z^2+a^2}}{2}\sqrt{2\frac{4ax}{z^2+a^2}}\frac{\pi }{\text{2}}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{qz}{{\left(a^2+z^2\right)}^{3/2}}$

Resultado que hemos obtenido previamente.

BIBLIOGRAFIA:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/electrico/campo_1/campo_1.html

Javier Andres Perez Gomez
Maria Alejandra Gutierrez Palencia
Wilmer Caceres


CAMPO ELÉCTRICO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS.

El sistema de cargas muy próximas es equivalente a una carga total continuamente distribuida a través de un volumen o una superficie.
Para evaluar el campo eléctrico de una distribución continua de cargas se divide la distribución la distribución  en pequeños elementos, cada uno de los cuales contiene una pequeña carga ∆q. Se aplica la ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico debido a uno de estos elementos en el punto P. Por último, se evalúa el campo total en el punto debido a la distribución de carga sumando las contribuciones  de todos los elementos de carga.

Si la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeña comparada con la distancia al punto, como una aproximación puede considerarse que la distribución de carga es continúa. Por lo tanto e, el campo total en el punto P en el Limite ∆q→0

Generador de Van de Graaff

// Foto tomada de  “fisicaexpdemostrativos.uniandes.edu.co/CargasElectricas”

Es una máquina electrostática creada por Robert Van de Graaff y que utiliza una cinta móvil para acumular grandes cantidades de carga eléctrica en el interior de una esfera metálica hueca.

CÁLCULOS

Existe un campo en la superficie de la esfera en el que el aire se ioniza y se vuelve conductor y a partir del cual el generador no puede incrementar más la carga.
Si realizamos una aproximación del campo producido de la esfera teniendo en cuenta el conductor hueco es una esfera conductora de radio R y sabiendo la carga acumulada Q.

Sustituimos en la formula

El campo de ruptura es el valor máximo del campo que un medio aislante soporte sin hacerse conductor, en el aire dicho valor es V=3,1*10^6   V/m.
Sustituyendo E por su valor y C por su igualdad tenemos

El radio de nuestra esfera es de 0,20 m.

Estos cálculos son aproximados puesto que: La esfera no es completa, la columna soporte y la propia correa no tienen resistencia infinita y se producen  pérdidas en los bordes de la esfera.

Ejercicio.

La esfera de un generador de Van de Graaff de 20 cm de radio crea un campo electrostático a su alrededor cuya intensidad de campo a 50 cm del centro de la esfera es de 2*10^5 N/C. la carga acumulada en la esfera es de:

Vídeo explicación dele generador de Van de Graaff.

https://youtu.be/jMklJWrHq7k

Referencias 

• Electricidad y magnetismo (John W. Jewett, Raymond A. Serway)
• W.T. Scott, The Physics of Electricity and Magnetism (J. Wiley & Sons, N.Y., 1966).
• A. Sommerfeld, Electrodynamics (Academic Press,New York, 1952). 
• i-cpan.es/ II concuros de divulgación CPAN

Autores
Angelica Silva Pinto
Yohan Suarez Barajas 
Brayan Suarez Duarte

 .